Formula Fibonaccijevog niza: Kako pronaći Fibonaccijeve brojeve

Fibonaccijev niz je obrazac brojeva koji se ponavlja kroz cijelu prirodu.

Skoči na odjeljak

• Što je Fibonaccijev niz?
• Podrijetlo Fibonaccijeve sekvence
• Formula Fibonaccijevog broja
• Fibonaccijev niz i zlatni omjer
• Fibonaccijev niz u prirodi
• Saznajte više
• Saznajte više o MasterClassu Neila deGrassea Tysona

Poznati astrofizičar Neil deGrasse Tyson podučava vas kako pronaći objektivne istine i dijeli svoje alate za priopćavanje onoga što otkrijete.

Što je Fibonaccijev niz?

Fibonaccijev niz je jedna od najpoznatijih formula u teoriji brojeva i jedan od najjednostavnijih cjelobrojnih nizova definiranih linearnom relacijskom relacijom. U Fibonaccijevom nizu brojeva, svaki broj u nizu je zbroj dva broja ispred sebe, s 0 i 1 kao prva dva broja. Fibonaccijev niz brojeva započinje na sljedeći način: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 i tako dalje. Fibonaccijev slijed koristan je za njegove primjene u naprednoj matematici i statistici, računalnim znanostima, ekonomiji i prirodi.

što je dikcija u pjesmi

Podrijetlo Fibonaccijeve sekvence

Fibonaccijev slijed prvi se put pojavljuje u drevnim sanskrtskim tekstovima već 200. pne., Ali slijed nije bio široko poznat zapadnom svijetu sve do 1202. godine, kada ga je talijanski matematičar Leonardo Pisano Bogollo objavio u svojoj knjizi izračuna Liber Abaci . Leonardo je također prolazio pod nadimkom Leonardo iz Pise, ali tek su mu 1838. povjesničari nadjenuli nadimak Fibonacci (u grubom prijevodu sa 'Bonaccijev sin'). Uz popularizaciju Fibonaccijeve sekvence, Fibonaccijeva knjiga Liber Abaci zalagao se za upotrebu hindu-arapskih brojeva (1, 2, 3, 4 itd.) i pomogao zamijeniti rimski sustav brojeva (I, II, III, IV, itd.) u cijeloj Europi.

U Liber Abaci , Fibonaccijev slijed zapravo je korišten za odgovor na hipotetski matematički problem koji uključuje rast populacije kunića: Ako se pojedinačni par kunića pari na kraju svakog mjeseca, tada se rađa novi par kunića mjesec dana nakon parenja i svi novi parovi zečeva kunići slijede taj isti obrazac, koliko će parova ili kunića postojati u jednoj godini? Evo kako biste počeli odgovarati na ovaj problem:

• Poceti sa 1 par zečeva.
• Na kraju prvog mjeseca još uvijek postoji samo 1 par zečeva otkad su se parili, ali još nisu rodili.
• Na kraju drugog mjeseca postoje dva parovi zečeva od prvog para sada su rodili drugi par.
• Na kraju trećeg mjeseca postoje 3 parovi zečeva. To je zato što je prvi par rodio treći par, ali drugi par se samo pario.
• Na kraju četvrtog mjeseca sada ih ima 5 parovi zečeva. To je zato što je prvi par rodio još jedan par, a drugi par je rodio svoj prvi par.

Kao što vidite, ovaj uzorak 1, 1, 2, 3, 5 slijedi Fibonaccijev niz. Ako nastavite 12 mjeseci, broj parova bit će 144.

Formula Fibonaccijevog broja

Da biste izračunali svaki uzastopni Fibonaccijev broj u Fibonaccijevoj seriji, upotrijebite formulu

gdje je 𝑛 Fi Fibonaccijev broj u nizu, a prva dva broja, 𝐹0 i 𝐹1, postavljena su na 0 odnosno 1.

Jedini problem ove formule je taj što je to rekurzivna formula, što znači da definira svaki broj niza pomoću prethodnih brojeva. Dakle, ako ste željeli izračunati deseti broj u Fibonaccijevom nizu, prvo biste trebali izračunati deveti i osmi, ali da biste dobili deveti broj trebali biste osmi i sedmi, i tako dalje.

Da biste pronašli bilo koji broj u Fibonaccijevom nizu bez ijednog od prethodnih brojeva, možete upotrijebiti izraz zatvorenog oblika koji se naziva Binetova formula:

U Binetovoj formuli grčko slovo phi (φ) predstavlja iracionalni broj koji se naziva zlatni omjer: (1 + √ 5) / 2, koji je zaokružen na najbliže tisućinke iznosi 1,618.

Fibonaccijev niz i zlatni omjer

Zlatni omjer (ili zlatni presjek) iracionalan je broj koji nastaje kada je omjer dva broja jednak omjeru njihove sume i većem od dva broja. Fibonaccijev niz je usko povezan sa zlatnim rezom, jer kako se Fibonaccijevi brojevi povećavaju, omjer bilo koja dva uzastopna Fibonaccijeva broja postaje sve bliži i bliži zlatnom rezu.

MasterClass

Predloženo za vas

Internetska nastava koju predaju najveći svjetski umovi. Proširite svoje znanje u ovim kategorijama.

Predaje znanstveno razmišljanje i komunikaciju

Predaje konzervaciju

Predaje istraživanje svemira

Predaje znanost o boljem snu

koja vrsta sira je queso fresco

Fibonaccijev niz u prirodi

Misli kao profesionalac

Poznati astrofizičar Neil deGrasse Tyson podučava vas kako pronaći objektivne istine i dijeli svoje alate za priopćavanje onoga što otkrijete.

Postoje znatne pogrešne informacije o tome gdje u stvarnom svijetu možete pronaći Fibonaccijev niz i zlatni omjer; usprkos onome što možda pročitate, zlatni rez nije korišten za izgradnju piramida u Gizi, a nautilus školjka ne raste nove stanice na temelju Fibonaccijeve sekvence.

Ali ta se matematička svojstva koja stoje iza Fibonaccijevog niza i zlatnog reza pojavljuju u cijeloj prirodi na više načina. Primjerice, zlatni omjer možete pronaći u spiralnom rasporedu lišća (nazvanom filotaksija) na nekim biljkama ili u zlatnom spiralnom uzorku pinecona, cvjetače, ananasa i rasporedu sjemenki suncokreta. Uz to, broj latica na cvijetu obično je Fibonaccijev broj.

Dalje, obiteljsko stablo trutova medonosnih pčela slijedi Fibonaccijev niz. To je zato što se muški trut izlije iz neoplođenog jajašca i ima samo jednog roditelja, dok ženske pčele imaju dva roditelja. To rezultira obiteljskim stablom trutova koji se sastoji od jednog roditelja, dva bake i djeda, tri pradjeda, pet pradjedova i tako dalje kroz Fibonaccijevu sekvencu.

Saznajte više

Dobiti Godišnje članstvo u MasterClassu za ekskluzivan pristup video lekcijama koje podučavaju poslovna i znanstvena svetišta, uključujući Neila deGrassea Tysona, Chrisa Hadfielda, Jane Goodall i druge.